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Una mwbwpermutazione è un modo di mwcaordinare in mwcqsuccessione oggetti distinti (ossia rappresenta uno specifico ordinamento di questi ultimi). Esempi di permutazioni si trovano scrivendo l'mwcganagramma di una parola, disponendo dei libri su uno scaffale o mescolando un mazzo di carte. Il concetto di permutazione trova la sua naturale applicazione nel mwcwcalcolo combinatorio. In termini mwdamatematici una permutazione di un mwdqinsieme mwdg X {\displaystyle X} si definisce come una funzione mwdwbiiettiva mwea p : : X → → X {\displaystyle p\colon X\rightarrow X} cite-ref-1[1].

Benché intuitivamente si tenda ad applicare il concetto di permutazione a insiemi finiti (contenenti quindi un numero finito di elementi), nulla vieta di permutare insiemi di cardinalità infinita. Ad esempio la funzione mwfg f ( x ) = − − x {\displaystyle f(x)=-x} definita in mwfw Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è una permutazione di mwga Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , dove gli elementi negativi e il loro corrispettivi positivi si scambiano di posto.

Le permutazioni sono un caso particolare di mwggdisposizione semplice, dove il numero di elementi da ordinare equivale al totale degli elementi disponibili.

• Elencare e contare le permutazioni

• Insiemi con ripetizioni

• Dimostrazione

• Composizione

• Cicli

• Notazione

• Esempio

• Segno di una permutazione

• Definizione

• Proprietà

• Gruppo alternante

• Formula per il segno

• Esempi

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il numero delle permutazioni di mwhg n {\displaystyle n} oggetti è pari al mwhwfattoriale di mwia n {\displaystyle n} :

mwiw n ! = n ⋅ ⋅ ( n − − 1 ) ⋅ ⋅ ( n − − 2 ) ⋯ ⋯ 1 , {\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1,}

infatti ci sono mwjq n {\displaystyle n} modi di scegliere l'oggetto che occupa la prima posizione, per ciascuno di essi ci sono mwjg n − − 1 {\displaystyle n-1} modi di scegliere l'oggetto che occupa la seconda posizione, poi per ogni coppia di oggetti fissati nelle prime due posizioni ci sono mwjw n − − 2 {\displaystyle n-2} modi di scegliere l'oggetto nella terza posizione, e così via, fino ad occupare tutte le posizioni.

Ad esempio, le permutazioni possibili dell'insieme di quattro mwkqlettere "ABCD" sono 24 e si presentano come:

ABCD BACD CABD DABC

ABDC BADC CADB DACB

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADBC BDAC CDAB DCAB

ADCB BDCA CDBA DCBA

Se nell'insieme di partenza vi sono degli elementi ripetuti, alcune permutazioni danno la stessa sequenza. Ad esempio le permutazioni della serie di quattro lettere "ABAB" forniscono soltanto 6 risultati distinti:

AABB ABAB ABBA

BBAA BABA BAAB

In generale, se l'insieme è formato da mwnw n {\displaystyle n} oggetti, di cui mwoa n 1 {\displaystyle n_{1}} sono di un tipo, mwoq n 2 {\displaystyle n_{2}} di un altro tipo, ecc. fino a mwog n k {\displaystyle n_{k}} , con mwow n = n 1 + n 2 + ⋯ ⋯ + n k {\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}} , il numero di permutazioni distinte o permutazioni con ripetizioni di un insieme di mwpa n {\displaystyle n} elementi, contenente mwpq n 1 , n 2 , … … , n k {\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}} elementi ripetuti, ossia identici tra loro, è uguale a

mwqa ( n n 1 , … … , n k ) = n ! n 1 ! ⋯ ⋯ n k ! {\displaystyle {n \choose n_{1},\dots ,n_{k}}={\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}}}

che viene detto mwqgcoefficiente multinomiale. Nelle permutazioni di un insieme con ripetizioni, se un elemento in una data posizione è sostituito da un altro elemento ripetuto la permutazione non cambia.

Nell'esempio mostrato, mwra n = 4 {\displaystyle n=4} e mwrq n 1 = n 2 = 2 {\displaystyle n_{1}=n_{2}=2} , e si ottiene quindi

mwsa 4 ! 2 ! 2 ! = 24 4 = 6. {\displaystyle {\frac {4!}{2!\,2!}}={\frac {24}{4}}=6.}

Si inseriscano in una tabella tutte le permutazioni semplici di mwsw n {\displaystyle n} oggetti in cui solo mwta k {\displaystyle k} si ripetono trattandoli come diversi tra loro in modo da avere sulle righe le permutazioni delle lettere non uguali e sulle colonne le permutazioni delle lettere uguali. Procedendo in questo modo su ogni riga ci saranno le stesse permutazioni, quindi se si calcola il prodotto del numero di righe per il numero di colonne si ottiene il numero di permutazioni:

mwtw r i g h e × × c o l o n n e = P n . {\displaystyle \mathrm {righe} \times \mathrm {colonne} =P_{n}.}

Ci saranno quindi tante righe quante permutazioni delle lettere ripetute e tante colonne quante permutazioni con ripetizione

mwuw k ! ⋅ ⋅ P n ; k = P n → → P n ; k = P n k ! . {\displaystyle k!\cdot P_{n;k}=P_{n}\quad \to \quad P_{n;k}={\frac {P_{n}}{k!}}.}

Se gli oggetti che si ripetono sono di più tipi, allora si eliminano prima gli elementi di un tipo trattandoli come diversi da quelli di altro tipo. Quindi si applica la formula sopra ottenendo le permutazioni semplici degli oggetti comprese quelle del tipo rimanente su cui sarà possibile applicare nuovamente la formula ottenendo le permutazioni con ripetizione cercate. Generalizzando si ottiene la formula

mwvw P n ; k 1 , k 2 , ⋯ ⋯ , k n = P n k 1 ! k 2 ! ⋯ ⋯ k n ! = ( n k 1 , k 2 , ⋯ ⋯ , k n ) . {\displaystyle P_{n;k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}}={\frac {P_{n}}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{n}!}}={n \choose k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}}.}

Una permutazione è una mwwwfunzione biettiva mwxa p : : X → → X {\displaystyle p\colon X\to X} . Due permutazioni mwxq p {\displaystyle p} e mwxg p ′ {\displaystyle p'} possono quindi essere mwxwcomposte e il risultato è ancora una permutazione. L'insieme mwya S ( X ) {\displaystyle S(X)} delle permutazioni di mwyq X {\displaystyle X} con l'operazione di composizione forma un mwyggruppo, detto mwywgruppo simmetrico. L'mwzaelemento neutro è la permutazione che lascia fissi tutti gli elementi; in mwzqnotazione ciclica mwzg i d = ( 1 ) ( 2 ) ⋯ ⋯ ( n ) {\displaystyle \mathrm {id} =(1)(2)\cdots (n)} cioè si rappresenta con un numero di mwzw n {\displaystyle n} 1-cicli.

Sia mwag a 1 , … … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} una successione di elementi distinti di mwaw X {\displaystyle X} . Il ciclo

mwbg p = ( a 1 a 2 … … a n ) {\displaystyle p=(a_{1}\ a_{2}\ \ldots \ a_{n})}

è la permutazione che manda mwca a n {\displaystyle a_{n}} in mwcq a 1 {\displaystyle a_{1}} , manda mwcg a i {\displaystyle a_{i}} in mwcw a i + 1 {\displaystyle a_{i+1}} se mwda i = 1 , … … , n − − 1 , {\displaystyle i=1,\ldots ,n-1,} e tiene fissi gli elementi di mwdq X {\displaystyle X} che non appartengono alla successione. Più formalmente è definita nel modo seguente:

mwea p ( a 1 ) = a 2 , p ( a 2 ) = a 3 , … … , p ( a n ) = a 1 ; {\displaystyle p(a_{1})=a_{2},\;\;p(a_{2})=a_{3},\;\;\ldots ,\;\;p(a_{n})=a_{1};}

mweg p ( a ) = a {\displaystyle p(a)=a\quad } se mwew a ≠ ≠ a i ∀ ∀ i = 1 , … … , n . {\displaystyle a\neq a_{i}\;\;\forall \;i=1,\ldots ,n.}

L'ordine del ciclo è il numero mwfq n {\displaystyle n} . Una trasposizione è un ciclo mwfg ( a b ) {\displaystyle (a\ b)} di ordine 2: consiste semplicemente nello scambiare gli elementi mwfw a {\displaystyle a} e mwga b {\displaystyle b} , lasciando fissi tutti gli altri.

Due cicli mwgg ( a 1 a 2 … … a n ) {\displaystyle (a_{1}\ a_{2}\ \ldots \ a_{n})} e mwgw ( b 1 b 2 … … b m ) {\displaystyle (b_{1}\ b_{2}\ \ldots \ b_{m})} sono mwhaindipendenti se mwhq a i ≠ ≠ b j {\displaystyle a_{i}\neq b_{j}} per ogni mwhg i {\displaystyle i} e mwhw j {\displaystyle j} . Due cicli indipendenti mwia a {\displaystyle a} e mwiq b {\displaystyle b} commutano, cioè mwig a ∘ ∘ b = b ∘ ∘ a {\displaystyle a\circ b=b\circ a} . L'importanza dei cicli sta nel seguente teorema: ogni permutazione si scrive in modo unico come prodotto di cicli indipendenti.

Poiché cicli indipendenti commutano, l'unicità è da intendersi a meno di scambiare l'ordine dei cicli.

Notiamo infine che le notazioni mwjq ( a b c ) {\displaystyle (a\ b\ c)} e mwjg ( b c a ) {\displaystyle (b\ c\ a)} definiscono lo stesso ciclo, mentre mwjw ( a b c ) {\displaystyle (a\ b\ c)} e mwka ( b a c ) {\displaystyle (b\ a\ c)} sono cicli diversi.

Ci sono due notazioni per scrivere una permutazione. La notazione detta mwkwa 2 lineecite-ref-2[2]:

mwmg α α = ( 1 2 3 … … n α α ( 1 ) α α ( 2 ) α α ( 3 ) … … α α ( n ) ) {\displaystyle \alpha ={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots &n\\\alpha (1)&\alpha (2)&\alpha (3)&\ldots &\alpha (n)\end{pmatrix}}}

oppure la notazione detta mwnaciclica:

mwnw α α = α α 1 α α 2 ⋯ ⋯ α α r , {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{r},}

dove

mwow α α i = ( a 1 i a 2 i … … a l i i ) , i = 1 , 2 … … , r , {\displaystyle \alpha _{i}=({a_{1}}^{i}\ {a_{2}}^{i}\ldots {a_{l_{i}}}^{i}),\quad i=1,2\ldots ,r,} è un generico mwpa l i {\displaystyle l_{i}} -ciclo con mwpq ∑ ∑ i = 1 r l i = n ! {\displaystyle \sum _{i=1}^{r}l_{i}=n!} .

Si considerino ad esempio le due permutazioni dell'insieme mwqa X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . {\displaystyle X=\{1,2,3,4,5\}.} Si può scrivere sotto a ogni numero la posizione in cui questo viene spostato:

mwqw α α = ( 1 2 3 4 5 2 5 4 3 1 ) , β β = ( 1 2 3 4 5 2 3 1 4 5 ) , α α ∘ ∘ β β = ( 1 2 3 4 5 5 4 2 3 1 ) . {\displaystyle \alpha ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}},\qquad \beta ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&1&4&5\end{pmatrix}},\qquad \alpha \circ \beta ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&2&3&1\end{pmatrix}}.}

Alternativamente, si possono scrivere le stesse permutazioni sfruttando il teorema enunciato sopra, scrivendole come prodotto di cicli indipendenti. Nel caso in esempio si ottengono mwrq α α = ( 1 2 5 ) ( 3 4 ) , {\displaystyle \alpha =(1\ 2\ 5)(3\ 4),} mwrg β β = ( 1 2 3 ) {\displaystyle \beta =(1\ 2\ 3)} e mwrw α α ∘ ∘ β β = ( 1 2 5 ) ( 3 4 ) ∘ ∘ ( 1 2 3 ) = ( 1 5 ) ( 2 4 3 ) . {\displaystyle \alpha \circ \beta =(1\ 2\ 5)(3\ 4)\circ (1\ 2\ 3)=(1\ 5)(2\ 4\ 3).}

Si noti che nella composizione ciclica si applica prima il ciclo di destra e poi il ciclo di sinistra. Per esempio, per vedere dove viene mandato 1 dalla composizione mwsq ( 1 2 5 ) ( 3 4 ) ∘ ∘ ( 1 2 3 ) {\displaystyle (1\ 2\ 5)(3\ 4)\circ (1\ 2\ 3)} si vede che mwsg ( 1 2 3 ) {\displaystyle (1\ 2\ 3)} lo manda in 2, mwsw ( 3 4 ) {\displaystyle (3\ 4)} non muove 2, e infine mwta ( 1 2 5 ) {\displaystyle (1\ 2\ 5)} manda 2 in 5. Quindi 1 va in 5.

Ogni mwua l {\displaystyle l} -ciclo è prodotto di trasposizioni. Infatti, sempre con la composizione da destra verso sinistra, si ha:

mwuw α α = ( a 1 a 2 … … a l − − 1 a l ) = ( a 1 a l ) ( a 1 a l − − 1 ) ⋯ ⋯ ( a 1 a 2 ) . {\displaystyle \alpha =(a_{1}\ a_{2}\ldots a_{l-1}\ a_{l})=(a_{1}\ a_{l})(a_{1}\ a_{l-1})\cdots (a_{1}\ a_{2}).}

In particolare si ha

mwvw ( a 1 a 2 … … a n ) = ( a 1 a n ) ( a 1 a n − − 1 ) ⋯ ⋯ ( a 1 a 2 ) {\displaystyle (a_{1}\ a_{2}\ldots a_{n})=(a_{1}\ a_{n})(a_{1}\ a_{n-1})\cdots (a_{1}\ a_{2})}

che non sono 2-cicli disgiunti. Ne segue che ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Il numero di queste trasposizioni non è univocamente determinato dalla permutazione: per esempio si può scrivere la trasposizione mwwq ( 1 2 ) {\displaystyle (1\ 2)} anche come mwwg ( 2 3 ) ( 1 3 ) ( 2 3 ) {\displaystyle (2\ 3)(1\ 3)(2\ 3)} o mwww ( 1 4 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 2 3 ) ( 1 4 ) {\displaystyle (1\ 4)(2\ 3)(3\ 4)(2\ 3)(1\ 4)} . Si può dimostrare che se una stessa permutazione mwxa p {\displaystyle p} può essere scritta sia come prodotto di mwxq h {\displaystyle h} trasposizioni, sia come prodotto di mwxg k {\displaystyle k} trasposizioni, allora mwxw h {\displaystyle h} e mwya k {\displaystyle k} hanno la stessa mwyqparità, cioè sono entrambi pari o entrambi dispari.

Una permutazione mwyw p {\displaystyle p} è detta mwzapari o mwzqdispari a seconda che sia ottenibile come prodotto di un numero pari o dispari di trasposizioni. Il mwzgsegno di mwzw p {\displaystyle p} è definito rispettivamente come mw0a + 1 {\displaystyle +1} e mw0q − − 1. {\displaystyle -1.}

Definito il prodotto di due permutazioni come la composizione delle stesse, si può dire che la funzione segno è mw1amoltiplicativa, cioè

mw1w sgn ⁡ ⁡ ( σ σ 1 σ σ 2 ) = sgn ⁡ ⁡ ( σ σ 1 ) ⋅ ⋅ sgn ⁡ ⁡ ( σ σ 2 ) . {\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma _{1}\ \sigma _{2})=\operatorname {sgn} (\sigma _{1})\cdot \operatorname {sgn} (\sigma _{2}).}

Ne consegue che mw2q sgn ⁡ ⁡ ( σ σ σ σ − − 1 ) = + 1. {\displaystyle \operatorname {sgn} \left(\sigma \ \sigma ^{-1}\right)=+1.}

Metà delle mw3a n ! {\displaystyle n!} permutazioni di un insieme di mw3q n {\displaystyle n} elementi sono pari. Poiché la funzione segno è moltiplicativa, le permutazioni pari formano un mw3gsottogruppo normale di mw3windice due del mw4agruppo simmetrico mw4q S ( X ) = S n {\displaystyle S(X)=S_{n}} delle permutazioni dell'insieme mw4g X = { 1 , 2 , … … , n } {\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}} , detto mw4wgruppo alterno e indicato con mw5a A ( X ) = A n . {\displaystyle A(X)=A_{n}.} Si tratta del mw5qnucleo dell'mw5gomomorfismo di gruppi

mw6q sgn : : S ( X ) → → { + 1 , − − 1 } . {\displaystyle \operatorname {sgn} \colon S(X)\to \{+1,-1\}.}

L'immagine è un mw6wgruppo ciclico con due elementi.

Fissiamo un elemento mw7g σ σ ∈ ∈ S n {\displaystyle \sigma \in S_{n}} nella notazione a 2 linee:

mw8q σ σ = ( 1 … … i … … j … … n σ σ ( 1 ) … … σ σ ( i ) … … σ σ ( j ) … … σ σ ( n ) ) . {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&\ldots &i&\ldots &j&\ldots &n\\\sigma (1)&\ldots &\sigma (i)&\ldots &\sigma (j)&\ldots &\sigma (n)\end{pmatrix}}.}

Consideriamo la coppia mw8w ( i , j ) , {\displaystyle (i,j),} con mw9a 1 ≤ ≤ i < j ≤ ≤ n , {\displaystyle 1\leq i<j\leq n,} dicesi mw9qinversione per mw9g σ σ {\displaystyle \sigma } se si verifica mw9w σ σ ( i ) > σ σ ( j ) {\displaystyle \sigma (i)>\sigma (j)} . Supponendo di ottenere mw-a r {\displaystyle r} inversioni, allora il segno della permutazione mw-q σ σ {\displaystyle \sigma } può essere calcolato tramite la formula seguente:

mw-a sgn ⁡ ⁡ ( σ σ ) = ϵ ϵ ( σ σ ) = ( − − 1 ) r = ∏ ∏ 1 ≤ ≤ i < j ≤ ≤ n σ σ ( j ) − − σ σ ( i ) j − − i = ∏ ∏ i = 1 n − − 1 ( ∏ ∏ j = i + 1 n σ σ ( j ) − − σ σ ( i ) j − − i ) = { + 1 σ σ pari, − − 1 σ σ dispari. {\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )=\epsilon (\sigma )=(-1)^{r}=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}=\prod _{i=1}^{n-1}\left(\prod _{j=i+1}^{n}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}\right)={\begin{cases}+1&\sigma {\text{ pari,}}\\-1&\sigma {\text{ dispari.}}\\\end{cases}}}

Tutte le trasposizioni, cioè i 2-cicli del tipo mw-w ( a b ) {\displaystyle (a\ b)} , sono dispari.

Ad esempio nel mwaqegruppo simmetrico mwaqi S 3 {\displaystyle S_{3}} abbiamo i seguenti 3 casi possibili per le coppie mwaqm ( i j ) = ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) {\displaystyle (i\ j)=(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3)} e in mwaqq S 4 {\displaystyle S_{4}} diventano 6 casi mwaqu ( i j ) = ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 1 4 ) , ( 2 3 ) , ( 2 4 ) , ( 3 4 ) {\displaystyle (i\ j)=(1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4)} .

Facciamo vedere che in mwaqc S 3 {\displaystyle S_{3}} con 6 elementi vi sono:

mwaqo i d , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 ) {\displaystyle \mathrm {id} ,(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)} pari;

mwaqw ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) {\displaystyle (1\ 2),(1\ 3),(2\ 3)} dispari.

Infatti per

mwara σ σ = ( 1 2 3 σ σ ( 1 ) σ σ ( 2 ) σ σ ( 3 ) ) = ( 1 2 3 3 2 1 ) = ( 1 3 ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3\\\sigma (1)&\sigma (2)&\sigma (3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}=(1\ 3)}

si ottiene

mwarq ϵ ϵ ( σ σ ) = ∏ ∏ 1 ≤ ≤ i < j ≤ ≤ 3 σ σ ( j ) − − σ σ ( i ) j − − i = σ σ ( 2 ) − − σ σ ( 1 ) 2 − − 1 ⋅ ⋅ σ σ ( 3 ) − − σ σ ( 1 ) 3 − − 1 ⋅ ⋅ σ σ ( 3 ) − − σ σ ( 2 ) 3 − − 2 = 2 − − 3 1 ⋅ ⋅ 1 − − 3 2 ⋅ ⋅ 1 − − 2 1 = ( − − 1 ) ( − − 1 ) ( − − 1 ) = − − 1 , {\displaystyle \epsilon (\sigma )=\prod _{1\leq i<j\leq 3}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}={\frac {\sigma (2)-\sigma (1)}{2-1}}\cdot {\frac {\sigma (3)-\sigma (1)}{3-1}}\cdot {\frac {\sigma (3)-\sigma (2)}{3-2}}={\frac {2-3}{1}}\cdot {\frac {1-3}{2}}\cdot {\frac {1-2}{1}}=(-1)(-1)(-1)=-1,}

quindi possiamo anche dire che mwary r = 3 {\displaystyle r=3} e mwarc ϵ ϵ ( σ σ ) = ( − − 1 ) r = ( − − 1 ) 3 = − − 1 {\displaystyle \epsilon (\sigma )=(-1)^{r}=(-1)^{3}=-1} . Lo stesso discorso si applica per le restanti riflessioni mwarg σ σ = ( 1 2 ) {\displaystyle \sigma =(1\ 2)} e mwark σ σ = ( 2 3 ) . {\displaystyle \sigma =(2\ 3).}

Per mwars σ σ = ( 1 2 3 2 3 1 ) = ( 1 2 3 ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}=(1\ 2\ 3)} si ottiene

mwar4 ϵ ϵ ( σ σ ) = ∏ ∏ 1 ≤ ≤ i < j ≤ ≤ 3 σ σ ( j ) − − σ σ ( i ) j − − i = 3 − − 2 2 − − 1 ⋅ ⋅ 1 − − 2 3 − − 1 ⋅ ⋅ 1 − − 3 3 − − 2 = ( + 1 ) ( − − 1 ) ( − − 1 ) = + 1 , {\displaystyle \epsilon (\sigma )=\prod _{1\leq i<j\leq 3}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}={\frac {3-2}{2-1}}\cdot {\frac {1-2}{3-1}}\cdot {\frac {1-3}{3-2}}=(+1)(-1)(-1)=+1,}

quindi possiamo anche dire che mwasa r = 2 {\displaystyle r=2} e mwase ϵ ϵ ( σ σ ) = ( − − 1 ) r = ( − − 1 ) 2 = + 1 {\displaystyle \epsilon (\sigma )=(-1)^{r}=(-1)^{2}=+1} . Lo stesso discorso si applica per le restanti mwasi ( 1 3 2 ) {\displaystyle (1\ 3\ 2)} e mwasm i d {\displaystyle \mathrm {id} } . Le tre permutazioni pari formano il mwasqsottogruppo normale alterno mwasu A 3 {\displaystyle A_{3}} .

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• mwau8Combinazione

• mwaveConvoluzione

• mwavmDismutazione (matematica)

• mwavuDisposizione

• mwavcPermutazione alternata

• mwavkProbabilità

• mwavsStatistica

• mwav0Superpermutazione

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla permutazione

• citereftreccani-itPermutazione, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefdizionario-delle-scienze-fisichePermutazione, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

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